Geometri Ruang 2

Popular Posts

Written By riyadu's blogs on Selasa, 01 April 2014 | 01.17

0 komentar:

Posting Komentar

BAB 1

PENDAHULUAN

Obyek dari Geometri, jadi juga dari Geometri Ruang, merupakan benda-benda pikiran yang sifatnya abstrak, misalnya titik, garis, bidang, balok kubus,limas, bola dan sebagainya. Benda pikiran dapat diperoleh dari benda nyata dengan melaksanakan abstraksi dan idealisasi.

Untuk memuddakan pembicaraan tentang bangun-bangun Geometri dalam pengaj aran Matematika seringkali digunakan gambar atau model dari bangun itu. Model-model bangun Geometri itu dapat kita gunakan sebagai alat peraga dalam kegiatan belajar mengajar Geometri.

Dalam pengajaran Geometri secara tegas kita membedakan antara pengertian, gambar dan model dari suatu bangun Geometri. Dengan demikian secara tegas kita membedakan antara balok, gambar balok dan model balok. Demikian pula kita membedakan antara bola, gambar bola dan model bola dan seterusnya.

Dalam Geometri, demikian juga dalam Geometri Ruang, setiap bangun dipandang sebagai himpunan titik-titik terteritu (special set of points). Misalnya sebuah garis, sebuah lingkaran, sebuah bola dan sebagainya. Ruang diartikan sebagai himpunan semua titik. Dapatkah anda menjelaskan perbedaan dan hubungan antara "ruang "dan "ruangan " ?

Dalam mendefmisikan bangun-bangun ruang dapat digunakan cara dengan menjelaskan batas-batas dari bangun ruang itu. Misalnya: sebuah kubus didefinisikan sebagai bangun yang dibatasi oleh enam daerah persegi yang kongruen. Cobalah anda menyebutkan definisi bangun-bangun ruang yang lain. Pernahkah anda secara khusus memperhatikan benda-benda atau bangun bangun yang terdapat disekitar anda, baik selama anda berada di ruang kelas, di rumah atau di alam terbuka? Cobalah anda menyebutkan bentuk dari setiap bangun yang dapat anda jumpai.

Apakah anda akan menjumpai kesulitan dalam menyebutkan bentuk untuk setiap bangun yang Anda jumpai itu?

Dalam Matematika, khususnya Geometri yang kita pelajari, hanya dipelajari bangun bangun baku saja, misalnya segitiga, trapesium, balok, tabung, kerucut, bola dan sebagainya. Dalam Matematika bangun-bangun Geometri merupakan benda-benda pikiran yang memiliki bentuk dan ukuran yang serba sempurna. Sebaliknya dalam kehidupan sehari hari atau di alam terbuka yang kita jumpai adalah benda-benda nyata, yang bentuknya tidak sempurna.

Benda-benda atau bangun bangun yang anda jumpai dalam kehidupan sehari-hari kebanyakan hanya dapat dijelaskan atau ditunjukkan kemiripannya saja terhadap bangun Geometri tertentu.

Dengan demikian Anda tidak perlu dapat menyebutkan bentuk dari setiap bangun yang Anda jumpai dan kenyataannya memang benda-benda di sekitar Anda memiliki bentuk yang sangat beraneka ragam, yang pada umumnya tidak memiliki bentuk baku yang Anda kenal dalam Geometri.

Geometri merupakan bagian dari Matematika yang sangat banyak kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Bangun persegi panjang merupakan bangun yang paling banyak terlibat dalam kehidupan manusia. Dewasa ini bentuk-bentuk segitiga sama sisi, segilima beraturan dan segienam beraturan banyak digunakan dalam bidang arsitektur dan industri. Bentuk lingkaran adalah juga bentuk yang sudah melekat erat dengan perkembangan umat manusia. Dapatkah anda jelaskan kemanfaatan dari bentuk lingkaran? Analoginya dalam ruang, Anda dapat menyaksikan penggunaan bentuk balok yang sangat mendominasi kehidupan umat manusia, demikian juga Anda dapat membayangkan akibatnya apabila manusia tidak menggunakan bangunbangun tabung, kerucut dan bola yang ternyata telah memiliki peranan khusus dalam pelbagai macam kepentingan manusia yang makin maju, sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.

Di bidang kesenian, sejak dahulu kala manusia sudah memanfaatkan pelbagai macam bentuk yang disusun, dirangkum dalam ragam tertentu sehingga dapat menciptakan pandangan atau suasana yang anggun dan nyaman.

Dewasa ini melalui kreatifitas para pengabdi seni yang jeli memanfaatkan keindahan yang dapat muncul dari balik bangun-bangun geometri tertentu, telah mendorong berkembangnya pelbagai macam industri misalnya industri rancang bangun, industri keramik, macam-macam industri kerajinan dan sebagainya. Dalam hubungan ini pemanfaatan bangun-bangun ruang tertentu semacam bidang banyak beraturan dapat dipelajari dan dikembangkan.

Dengan demikian adalah menjadi salah satu kewajiban dari para guru Matematika di Sekolah Menengah Umum maupun Kejuruan untuk membantu para siswanya agar sejauh mungkin dapat memanfaatkan bangun-bangun Geometri sebagai salah satu sumber acuan dalam mengembangkan teknologi pada bidangnya masing-masing.

Latihan I

Sebutkan sebanyak banyaknya nama bangun ruang yang Anda kenal atau ketahui.

Pernahkah Anda melihat titik, garis lurus, bidang datar, kubus, tabung atau bola ? Jelaskan jawaban anda.

Ambilah sebuah botol sirup atau sebuah jambangan bunga. Cobalah Anda menjelaskan bentuk yang dimiliki benda-benda tersebut apakah yang dapat Anda katakan tentang bentuk dan sebuah telur, sarang lebah madu dan sepasang telinga kita.

Anda diharapkan pernah melihat atau mungkin juga memiliki meja berkaki empat dan meja yang berkaki tiga. Dapatkah Anda menjelaskan mana meja yang lebih stabil (berdiri mantap tidak bergoyang); mengapa meja kebanyakan dibuat berkaki empat

Jelaskan perbedaan antara:

kotak dan balok

kaleng susu dan tabung

bola dan bola volley

bidang lengkung tabung atau bidang lengkung kerucut dan bidang lengkung bola.

BAB 2

GAMBAR BANGUN RUANG

Gambar dari sebuah benda dapat dipandang sebagai hasil proyeksi atau bayangan dari model kerangka benda itu pada sebuah layar yang pada umumnya layar itu dipikirkan sebagai sebuah bidang datar.

Dari beberapa macam cara, kita mengenal paling tidak dua cara menggambar benda, antara lain:

Cara Perspektif

Pada penggambaran dengan cara ini digunakan sebagai pedoman adalah garis horizon atau cakrawala atau titik mata. Pada gambar perspektif garis-garis yang sebenarnya sejajar (kecuali yang sejajar dengan garis horizon) tidak sejajar lagi, tetapi arahnya kesuatu titik tertentu yang terletak pada garis horizon. Dengan demikian ruas-ruas garis yang sebenarnya sama panjang pada umumnya pada gambar tidak sama panjang lagi.

Cara Stereometris.

Cara ini pada hakekatnya sama dengan cara perspektif, hanya saja garis horizon dianggap letaknya jauh tak berhingga dan selanjutnya cara ini disebut cara Stereometris. Pada cara ini sinar-sinar yang mengenai benda kita anggap sejajar dan arahnya miring terhadap permukaan bidang layar atau bidang gambar, karena itu cara ini kita sebut juga proyeksi (paralel) miring dan gambar yang diperoleh disebut gambar ruang dari benda itu. Dalam geometri, baik geometri bidang maupun Geometri Ruang, cara stereometris inilah yang pada umunmya kita pergunakan. Dalam memuat gambar stereometris, kita mengenal beberapa istilah atau pengertian

Gambar 2.2. Gambar stereometris kubus ABCDEFGH

Bidang Gambar

Yaitu bidang tempat gambar, yaitu permukaan papan tulis atau permukaan kertas.

b. Bidang Frontal

Ialah bidang tempat gambar atau setiap bidang yang sejajar dengan bidang gambar.

Keistimewaan dari bidang Frontal ini yaitu bahwa setiap bangun yang terletak pada bidang itu bentuk dan ukurannya dalam gambar sama dengan bentuk dan ukuran yang sebenarnya.

Misalnya pada gambar kubus ABCDEFGH dengan bidang ABFE frontal, maka ABFE benar-benar berupa persegi dan sudut ABF misalnya, benar-benar siku-siku.

Garis Frontal

Yaitu setiap garis atau ruas yang terletak pada bidang frontal. Diantaranya garis-garis frontal yang penting adalah garis vertikal. Setiap garis vertikal tentu frontal, tetapi tidak setiap garis horizontal adalah frontal (mengapa ? berilah contoh).

Garis Ortogonal

Yaitu setiap garis yang letaknya tegak lurus pada bidang frontal, pada gambar 2.2, misalnya AD,BC,FG.

Sudut surut atau sudut simpang atau sudut menyisi

Yaitu sudut dalam gambar antara sinar garis frontal horizontal arah ke kanan dan sinar garis Orthogonal arah belakang.

Misalnya pada gambar Ð BAD Ð FEH; sudut-sudut itu ukuran sebenarnya 90⁰.

Perbandingan proyeksi atau perbandingan Orthogonal

Yaitu perbandingan antara panjang ruas garis orthogonal dalam gambar dengan panjang sebenarnya dari ruas garis itu. Sebagai misal pada gambar contoh di atas

Jadi perbandingan proyeksi pada gambar kubus ABCDEFGH di atas adalah ...

Untuk lebih memahami dan trampil dalam membuat gambar ruang, perlu memperoleh pengalaman menggambar melalui beberapa latihan dengan pelbagai situasi letak dari bangun ruangnya.

Dalam menggambar bangun ruang usahakan agar rapi dan cermat. Gunakan pensil, sepasang penggaris siku-siku, busur derajad dan jangka. Hindari menggambar dengan tinta, sebelum gambar dipastikan kebenarannya.

Contoh 2 : Buatlah gambar proyeksi miring dari kubus ABCDEFGH yang alasnya ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE, BF, CG dan DH. Panjang rusuknya 5 cm, bidang alasnya horizontal, bidang sisi tegak ABFE frontal, sudut simpang 30⁰. Dan perbandingan proyeksi

Langkah penyelesaian gambar

	1. Kita lukis bidang alasnya lebih dahulu, yang berupa daerah persegi ABCD, karena ABCD horizontal dan ABFE frontal, berarti rusuk AB letaknya frontal Horizontal, sehingga dalam gambar AB, panj angnya 5 cm.
	2. Pada titik A lukislah sudut simpangnya 30⁰
	3. Karena AD merupakan ruas garis orthogonal, sedang perbandingan proyeksinya ²maka panjang AD pada gambar 5 x 5 cm = 2 cm
	4. Karena proyeksi miring persegi ABCD berupa jajar genjang, maka gambar bidang alas ABCD dapat diselesaikan.
	5. Rusuk-rusuk tengahnya berupa ruas garis vertikal, jadi letaknya frontal sehingga titik-titik sudut E,F,G dan H dapat digambar, kemudian dihasilkan gambar dari kubus ABCDEFGH tersebut.

Latihan 2

1. Buatlah gambar proyeksi miring dari kubus

dengan bidang alas ABCD horizontal dan bidang sisi ABFE frontal. Panjang rusuknya 6 cm, perbandingan proyeksi

;dan diketahui pula bahwa

a. Sudut simpang 45⁰

b. Sudut simpang 30⁰

c. Sudut simpang 150⁰

Bandingkan ketiga gambar kubus yang Anda hasilkan itu dengan melukiskan:

- Diagonal sisi AF

- Diagonal sisi DE

- Diagonal ruang DF

- Diagonal ruang AG

Pada gambar kubus tersebut.

Apakah yang dapat Anda katakan tentang ketiga gambar kubus itu?

Dapatkah Anda kemukakan kriteria dari suatu gambar yang baik?

2. Buatlah gambar balok

dengan AB = 7cm, AD = 5 cm, AE = 4 cm, dengan bidang alas ABCD horizontal, bidang sisi ABFE frontal, sudut simpang 37½⁰ dan perbandingan proyeksi

3. Buatlah gambar sebuah tabung dengan bidang alas horizontal; diameter alas 5 cm, tinggi 7 cm, sudut simpang 90⁰, perbandingan proyeksi = ⅓.

4. Buatlah gambar limas segiempat beraturan T. ABCD, dengan bidang alas ABCD horizontal, BC frontal, sudut simpang 45⁰ dan perbandingan proyeksi

. AB = 5 cm, tinggi limas 7 cm.

5. Buatlah gambar tabung dengan diameter bidang alas 6 cm, tinggi 8 cm, bidang alas vertikal, sudut simpang 90⁰, perbandingan proyeksi ½,letak sumbu tabung frontal horizontal.

6. Buatlah gambar sebuah kerucut dengan jari-jari bidang alas 4 cm, tinggi 8 cm, sudut simpang 90⁰.

7. Buatlah gambar sebuah bola dengan diameter 6 cm, sudut simpang 90⁰, perbandingan proyeksi ⅓.

BAB 3

RELASI ANTARA UNSUR-UNSUR RUANG

Setelah siswa cukup terlatih dengan pengenalan terhadap bangun-bangun ruang seperti balok, kubus, limas dan sebagainya dengan semua bagianbagiannya yang berupa sisi, rusuk dan titik sudut, maka siswa dapat diajak untuk mengenal pengertian titik, garis dan bidang.

Pengertian titik, garis dan bidang dapat diperoleh berturut-turut dari pengertian titik sudut, rusuk dan sisi dengan melepaskan masing-masing dari strukturnya pada suatu benda, misalnya balok. Kemudian kita melakukan abstraksi dan idealisasi.

Titik, garis dan bidang adalah benda-benda pikiran yang sifatnya abstrak. Titik, garis dan bidang disebut unsur-unsur ruang.

Kemudian apa yang disebut dengan ruang?

Ruang didefinisikan sebagai himpunan semua titik.

Bangun ruang, antara lain garis, bidang, segitiga, prisma, limas dan sebagainya untuk selanjutnya dipandang sebagai himpunan titik-titik tertentu (special set of points).

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa titik adalah himpunan bagian dari bidang, bidang merupakan himpunan bagian dari ruang, demikian juga sebuah kubus atau bola adalah himpunan bagian dari ruang.

Secara tegas dibedakan antara garis, sinar garis dan garis. (perhatikan juga pengertian ruas garis berarah dan garis bilangan).

Dalam pembelajaran geometri harus senantiasa ditegaskan perbedaan antara pengertian, lambang, gambar dan model suatu bangun geometri. Pada kenyataannya banyak guru dilapangan yang kurang memperhatikan hal itu.

Relasi Dua Unsur Ruang

a. Relasi titik dan garis

Sebuah titik dapat terletak di luar atau pada sebuah garis.

b. Relasi titik dan bidang

Sebuah titik dapat terletak di luar atau pada sebuah bidan€

c. Relasi garis dan bidang

Garis g dan bidang K dikatakan berpotongan jika keduanya mempunyai tepat satu titik persekutuan.


(a)	(b)	(c)

Gambar 3.3

Sebuah garis g dikatakan terletak pada bidang K jika setiap titik dari garis g terletak pada bidang K.

Sebuah garis g dan sebuah bidang K dikatakan sejajar jika keduanya tidak bersekutu sebuah titikpun. (perhatikan bagaimana sebaiknya menyajikan gambar dari garis dan bidang yang sejajar).

d. Relasi dua buah bidang

Dua buah bidang K dan L dikatakan berpotongan jika keduanya bersekutu tepat pada sebuah garis. Garis persekutuan itu disebut garis potong antara bidang K dan bidang L dan dituliskan dengan (K, L).

Dengan demikian garis (K, L) merupakan himpunan dari semua titik yang terletak pada bidang K dan juga pada bidang L.

Dua buah bidang disebut sejajar jika keduanya tidak bersekutu satu titikpun.

e. Relasi dua buah garis

Dua garis g dan k dalam ruang dapat

i. Bersilangan; jika keduanya tidak terletak pada sebuah bidang.

ii. Berpotongan; jika keduanya terletak pada sebuah bidang dan mempunyai sebuah titik persekutuan.

iii. Sejajar; jika keduanya terletak dalam sebuah bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan.


(a)	(b)	(c)

Gambar 3.6

Latihan 3.

1. Dalam membuat gambar-gambar bangun ruang sebaiknya kepada siswa diwajibkan menggunakan pensil. Dapatkah Anda menjelaskan tujuan dan kemanfaatannya

2. Untuk menggambarkan sebuah bidang, biasanya digunakan gambar jajargenjang. Jelaskan maknanya!

3. Bagaimana kriteria dari suatu gambar yang baik dalam pembelajaran geometri ?

Berikan alternatif gambar yang baik untuk menyatakan

a. Sebuah titik P yang terletak pada sebuah bidang H

b. Dua garis p dan q yang bersilangan

c. Dua garis 1 dan m yang keduanya terletak dalam sebuah bidang M.

4. Sebutkan ciri-ciri khusus dari

a. Titik	c. bidang
b. garis	d. ruang

5. Sebutkan kesamaan dan perbedaan antara “dua garis sejajar” dan “dua garis bersilangan”

6. Jelaskan perbedaan antara

a. Titik dan titik sudut

b. Garis dan garis bilangan

c. Bidang dan bidang cartesius

d. Sinar

dan ruas garis berarah PQ

e. Ruang dan ruangan .

7. Untuk menanamkan pemahaman siswa tentang relasi antara unsur-unsur ruang, yaitu titik, garis dan bidang, maka seringkali titik, garis dan bidang yang dibicarakan itu diwakili oleh titik sudut, rusuk, sisi, diagonal atau bidang diagonal dalam sebuah kubus.

a. Mengapa dipilih bangun kubus?

b. Buatlah gambar sebuah kubus ABCD EFGH dengan rusuk 6 cm. Bidang alas ABCD horizontal dan bidang sisi tegak ABFE frontal.

c. Sebutkan tiga pasang garis yang dua-dua saling bersilangan

d. Apakah yang dimaksud dengan dua titik sudut yang berhadapan dan tunjukkan contohnya.

e. Apakah yang dimaksud dengan dua rusuk yang berhadapan dan tunjukkan contohnya.

f. Apakah yang dimaksud dengan dua sisi berhadapan dan berilah contohnya.

g. Apakah yang dimaksud dengan diagonal ruang, tunjukkan contohnya.

h. Apakah yang dimaksud dengan bidang diagonal dan tentukan banyaknya semua bidang diagonal pada sebuah kubus, apakah perlu dibuat gambar dari semuanya?

i. Sebutkan pada gambar kubus Anda tersebut

- Garis-garis yang letaknya frontal tetapi tidak horizontal.

- Garis-garis yang letaknya horizontal tetapi tidak frontal.

- Garis-garis vertikal yang tidak frontal.

BAB 4

GARIS TEGAK LURUS BIDANG

Pengertian : sebuah garis g dikatakan tegak lurus pada sebuah K, jika garis g tegak lurus pada semua garis yang terletak pada bidang K

Sifat : Jika sebuah garis g tegak lurus pada dua buah garis yang berpotongan yang terletak pada sebuah bidang K, maka garis g akan tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang K.


(a)	(b)

Gambar 4.1

Jadi jika garis g tegak lurus pada bidang K dan garis-garis a,b,c dan d masing-masing terletak pada bidang K, maka g ^ a, g ^ b, g ^ c dan g ^ d.

Sedang jika garis g tegak lurus pada garis p dan q yang berpotongan, sedang p dan q terletak pada bidang K, maka garis g akan tegak lurus pada bidang K.

Dengan demikian untuk membuktikan atau menunjukkan apakah sebuah garis tegak lurus sebuah bidang, cukup ditunjukkan bahwa garis itu tegak lurus pada dua garis berpotongan yang terletak pada bidang itu.

Dalam kehidupan sehari-hari, disekitar kita, khususnya jika kita berada dalam sebuah ruangan, akan kita lihat adanya garis-garis yang tegak lurus bidang. Dapatkah anda menunjukkannya?

PROYEKSI TITIK DAN GARIS PADA BIDANG

Proyeksi titik pada bidang.

Pengertian : Proyeksi titik A terhadap bidang H adalah titik kaki garis tegak lurus yang ditarik dari titik A pada bidang H.

Pada gambar diatas

H disebut bidang proyeksi

A disebut titik yang diproyeksikan

A₁ disebut proyeksi titik A pada bidang H

disebut garis pemroyeksi

Karena garis pemroyeksi letaknya tegak lurus pada bidang proyeksi, maka proyeksi ini disebut juga proyeksi orthogonal, yang untuk selanjutnya cukup disebut "proyeksi " saja.

Proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang

Untuk selanjutnya, karena setiap bangun geometri dapat di pandang sebagai himpunan titik, maka proyeksi suatu bangun geometri pada sebuah bidang K diperoleh dengan memproyeksikan semua titiknya dari bangun itu. Meskipun demikian, pada kenyataannya kita cukup memproyeksikan beberapa titiknya tertentu, sesuai dengan sifat bangun yang diproyeksikan.

Hasil proyeksi dari suatu garis lurus pada sebuah bidang K, pada umumnya akan berupa sebuah garis lurus juga.

Dengan demikian untuk memproyeksikan sebuah ruas garis

cukup dengan memproyeksikan ujung-ujungnya A₁ dan B₁ saja, kemudian tinggal menghubungkan Ai dan Bi dengan garis lurus untuk memperoleh proyeksi dari ruas garis

Jika

letaknya tegak lurus pada bidang proyeksi K, maka proyeksi dari ruas

pada bidang K merupakan sebuah titik (mengapa ?)

Latihan 4.

1. Diketahui : kubus ABCD EFGH

Buktikan : a. AC tegak lurus bidang DBFH

b. AC tegak lurus HB

2. Diketahui : kubus ABCD EFGH

Buktikan : a. AC tegak lurus bidang BD

b. AG tegak lurus BE

c. AG tegak lurus bidang BDE

d. Segitiga BDE sama sisi.

3. Dalam limas segitiga D. ABC tiga buah rusuk yang bertemu di titik A saling tegak lurus; buktikan bahwa

a. DA tegak lurus BC

b. AC tegak lurus BD

4. Diketahui kubus ABCD EFGH. Tentukan proyeksi

a. Titik G pada bidang ADHE

b. Titik H pada bidang ABFE

c. CD pada bidang ABCD

d. EC pada bidang BCGF

e. AC pada bidang EFGH

5. Dalam kubus ABCD EFGH.

a. Lukiskan proyeksi EF pada bidang ACGE

b. Lukiskan proyeksi AF pada bidang AEGC

6. Bagaimana kedudukan dari dua buah garis p dan q agar proyeksinya pada sebuah bidang K berupa sebuah garis lurus ?

7. Bagaimana kedudukan dari dua buah garis a dan b agar proyeksinya pada sebuah bidang K berupa dua buah titik ?

8. Lukislah proyeksi dari sebuah segitiga ABC terhadap sebuah bidang K, jika A, B dan C terletak diatas bidang K. Kemudian lukislah proyeksi dari titik berat segitiga ABC pada bidang K. Jika Z adalah titik berat segitiga ABC, sedang A₁, B₁, C_I dan Z₁ berturut-turut adalah proyeksi A, B, C dan Z pada bidang K, tunjukkan bahwa ZZ₁ = ⅓ (AA₁ + BB₁ + CC₁) .

BAB 5

JARAK

Definisi : Yang dimaksud dengan jarak antara dua buah bangun adalah panjang ruas garis penghubung terpendek yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut.

Jika G_t dan G2 adalah bangun-bangun geometri. Maka Gl dan G2 dapat dipikirkan sebagai himpunan titik-titik. Sehingga dapat dilakukan pemasangan satu -satu antara titik- titik pada Gl dan G2.

Jika

adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik

itu, maka panjang ruas garis

disebut jarak antara bangun Gl dan G2. Akibat dari pengertian yang demikian maka

1. Jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis

2. Jarak antara titik P dan garis g adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi P pada garis g.

3. Jarak antara titik P pada bidang K adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi titik P pada bidang K.

4. Jarak antara garis g dengan bidang K yang sejajar sama dengan jarak salah satu titik pada garis g terhadap bidang K.

5. Jarak antara bidang K dan L yang sejajar sama dengan jarak salah satu titik pada bidang K terhadap bidang L, atau sebaliknya.

6. Jarak antara garis g dan h yang bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang memotong tegak lurus garis-garis g dan h. (perhatikan cara menggambarnya).


(a)	(b)		(c)
Gambar 5.2

(a)		(b)

(c)		(d)
Gambar 5.3

Dua cara atau langkah untuk menentukan jarak antara dua garis a dan b yang s bersilangan.

Cara I

1. Membuat garis b₁ sejajar b yang memotong garis a.

2. Membuat bidang H yang melalui a dan b₁; bidang H letaknya sejajar dengan garis b (mengapa ?).

3. Memproyeksikan garis b pada bidang H, menghasilkan garis b₂ yang letaknya sejajar dengan b1 dan memotong garis a di titik A.

4. Melalui titik A dibuat garis g tegak lurus pada bidang H yang akan memotong garis b di titik B.

5. Ruas garis

merupakan ruas garis yang memotong tegak lurus a dan b; jadi

adalah jarak antara garis a dan garis b yang bersilangan.

Bukti :

Cara I dapat dijelaskan dengan lukisan berikut:

Gambar 5.4

Cara II

1. Membuat sebuah bidang yang memotong tegak lurus garis b dititik P, namakan bidang H.

2. memproyeksikan garis a pada bidang H yang menghasilkan garis a,.

3. melalui titik P pada bidang H dibuat garis yang memotong tegak lurus garis a1 dititik Q.

4. melalui titik Q dibuat garis k tegak lurus bidang H, yang memotong garis a dititik A.

5. melalui titik A dibuat garis 1 sejajar garis

, yang akan memotong garis b dititik B.

6. Ruas garis AB adalah ruas garis yang memotong tegak lurus garis -garis a dan b, jadi AB adalah jarak antara dua garis bersilangan a dan b.

Bukti .

^ a₁	^ bidang (a, a₁)	^ a	Jadi ^ a
^ k	a Pada bidang(a, a₁)	//
b ^	^ b

jadi

memotong tegak lurus garis a dan garis b.Cara II dapat dijelaskan dengan lukisan pada Gambar 5.5 berikut

Latihan 5.

Buatlah gambar kubus

1. a) Lukis dan hitunglah jarak antara A dan C ?

b) Lukis dan hitunglah jarak antara D dan G ?

2. Lukis dan hitunglah jarak antara E dan C jika ditempuh melewati bidang sisi kubus?

3. a) Lukis dan hitunglah jarak antara A dan C ?

b) Lukis dan hitunglah jarak antara D dan G ?

4. a) Lukis dan hitunglah jarak antara HG dan ABFE ?

b) Lukis dan hitunglah jarak antara FG dan BCHE?

5. Lukis dan hitunglah jarak antara bidang ABFE dan bidang DCHG ?

6. Lukis dan hitunglah jarak antara bidang AFH dan bidang BDG ?

7. Lukis dan hitunglah jarak antara AB dan FG ?

8. Lukis dan hitunglah jarak antara AE dan BD ?

9. Lukis dan hitunglah jarak antara GH dan FC

10. Dua buah garis 1 dan m bersilangan tegak lurus. Jarak antara kedua garis itu adalah AB. A pada 1 dan B pada m, pada garis 1 dan m berturut-turut terletak titik-titik C dan D, sehingga AC = 6 cm dan BD = 8 cm jika AB = 10 cm. Hitunglah panjang

BAB 6

SUDUT DALAM RUANG

1. Sudut antara dua buah garis yang bersilangan

Pengertian : Sudut antara dua buah garis a dan b yang bersilangan ialah sudut yang diperoleh jika melalui sembarang titik T ditarik garis a₁ sejajar a dan garis b₁ sejajar b.

Khususnya jika sudut antara dua buah garis yang bersilangan adalah siku-siku, maka dikatakan bahwa garis a dan b bersilangan tegak lurus, atau garis a menyilang tegak lurus garis b.

2. Sudut antara garis dan bidang

Pengertian : Jika garis a tidak tegak lurus pada bidang K, maka yang dimaksud sudut antara garis a dan bidang K adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis a dan proyeksi garis a pada bidang K.

Gambar 6.2

Pada gambar a₁ adalah proyeksi a pada bidang K, maka sudut antara garis a dan bidang K ditunjukkan oleh sudut lancip yang berbentuk oleh a dan a₁, jadi Ð (a, K) = Ð (a, a₁ ).

3. Sudut antara dua buah bidang

Jika dua buah bidang K dan L saling berpotongan sepanjang garis potong (K,L), maka sudut antara bidang K dan L ditetapkan sebagai berikut Buatlah sebuah bidang yang tegak lurus pada garis potong (K,L) misalnya melalui satu titik P pada garis (K,L). Jika bidang itu dinamakan bidang M, maka bidang M itu disebut pula bidang tumpuan.

Apabila bidang M memotong bidang-bidang K dan L berturut-turut pada garis-garis (K,M) dan (L,M), maka sudut antara garis potong (K,M) dan garis potong (L,M) disebut sudut antara bidang K dan bidang L.

Gambar 6.4

Jika sudut antara dua buah bidang siku-siku atau 90⁰, maka dikatakan kedua bidang itu saling tegak lurus. Pada gambar misalnya bidang H tegak lurus bidang V, maka L (V, H) = 90⁰. Sudut antara dua bidang disebut juga sudut tumpuan, sedang bidang yang memuat sudut tumpuan disebut bidang tumpuan.

Latihan 6.

Dalam kubus ABCD EFGH

1. Sudut antara FD dan bidang BCGF ditunjukkan oleh sudut DFC selanjutnya tunjukkan sudut antara

a. BD dan bidang AEHD

b. FD dan bidang ABCD

c. DH dan bidang ACGE

2. Berapakah besarnya sudut antara

a. CG dan bidang ABCD

b. GD dan bidang ABCD

c. DH dan bidang ACGE

3. Lukis besar sebenarnya sudut antara diagonal ruang dan sisi kubus, misalnya antara DG dan bidang sisi BHDG.

4. Tunjukkan dalam limas segi empat beraturan T. ABCD sudut antara

a. TA dan bidang alas

b. TA dan bidang TBD

5. Sebuah kerucut bidang alas dan apotemanya sama panjangnya. Berapakah besarnya sudut yang dibentuk oleh apotema dan bidang alasnya ?

6. Dalam kubus ABCD EFGH, tentukanlah besarnya sudut antara

a. AB dan CG

b. AB dan DE

c. DC dan BE

d. FC dan EA

e. FG dan AD

7. Dalam kubus ABCD EFGH berapakah banyaknya rusuk yang tegak lurus pada CD !

8. Dalam kubus ABCD EFGH. Tentukanlah 8 buah garis yang membentuk sudut 45⁰ dengan EG?

9. Dalam kubus ABCD EFGH, P adalah titik pertengahan AB dan AB = 8 cm, tentukan

a. Panjang

b. Cos Ð (AD, HP)

c. Tg Ð (EF, GP)

10. Dalam limas segi empat beraturan T. ABCD, AB = 4√2 dan AT = 8, M titik tengah rusuk TC.

a. Berapakah besarnya Ð (AT, BD)

b. Tentukan Cos Ð (AT, DC)

11. Dalam suatu kubus ABCD EFGH, manakah sudut antara

a. Bidang ADGF dan bidang BCGF

b. Bidang ADHE dan bidang ABCD

c. Bidang ABGH dan bidang ABCD

12. Dalam kubus ABCD EFGH, manakah diantara pernyataan pernyataan ini yang benar

a. Sudut antara ADGF dan EFGH adalah sudut AFE

b. Sudut antara ABGH dan ABCD adalah sudut DEG

c. Sudut antara CDEF dan ABGH besarnya 90⁰

d. Sudut antara ABCD dan ACGE besarnya 45⁰

13. Dalam kubus ABCD EFGH, dilukis bidang ACGE dan BDG.

a. Lukislah garis potong kedua bidang itu.

b. Manakah sudut antara BDG dan ABCD

c. Manakah sudut antara BDG dan BDE ?

14. Dalam limas segiempat beraturan T. ABCD. T₁ adalah proyeksi puncak T pada alas ABCD.

a. Tunjukkan sudut antara rusuk TA dan bidang alas ABCD

b. Tunjukkan sudut antara bidang sisi tegak TBC dengan bidang alas ABCD.

15. Tiga rusuk yang bertemu dititik A di limas T.ABC saling tegal lurus. Jika AB = AC = 4 √2 cm dan AD = 4 √3 cm.

Hitunglah

a. Besar sudut antara BCT dan ABC

b. Tangen sudut antara BCT dan ABT.

BAB 7

PRISMA

Bangun ruang yang bentuknya dimiliki oleh banyak benda yang erat kaitannya dengan kehidupan manusia adalah prisma.

Definisi : Prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidang sejajar dan beberapa buah bidang lain yang dua-dua saling berpotongan menurut garis-garis yang sejajar. Bidang-bidang sejajar itu kemudian membentuk dua buah daerah segi banyak yang kongruen yang dinamakan masing-masing bidang alas dan bidang atas. Garis-garis sejajar itu disebut rusuk tegak; dan pada umumnya rusuk tegak tidak tegak lurus pada bidang alas. Bidang batas yang selain bidang alas dan bidang atas disebut bidang sisi tegak; yang pada umumnya berupa daerah jajargenjang. Jarak antara bidang alas dan bidang atas disebut tinggi prisma.

Gambar 7.1

Irisan prisma dengan sebuah bidang yang memotong semua rusuk tegak dan letaknya tegak lurus pada rusuk tegak, disebut irisan tegak lurus atau irisan siku-siku (pada gambar PQRS). Prisma yang bidang alasnya sebuah segi-n disebut prisma bersisi-n atau prisma segi -n.

Prisma yang Memiliki Sifat Khusus

Prisma tegak adalah prisma yang rusuk tegaknya tegak lurus pada bidang alas.

Dengan demikian maka pada sebuah prisma-tegak : sisi-sisi tegaknya berupa daerah persegi panjang; bidang alas dan bidang atasnya merupakan juga irisan siku-sikunya; sedang tinggi prisma dapat diwakili oleh panjang salah satu rusuk tegaknya.

Prisma yang tidak tegak disebut prisma miring.

Prisma-beraturan atau prisma-teratur; adalah prisma tegak yang bidang alasnya berupa segi banyak-beraturan.

Pada prisma beraturan ruas garis yang menghubungkan titik-titik pusat bidang alas dan bidang atas disebut sumbu dari prisma beraturan itu. Pada gambar dibawah ini adalah prisma segi-3 beraturan ABCDEF. Z₁ dan Z₂ adalah titik- titik pusat bidang alas dan bidang atas; maka Z₁Z₂disebut sumbuprisma ABCDEF.

Paralelepipedum adalah prisma yang bidang alasnya berbentuk jajargenjang.

Jadi sebuah paralelepipedum pada umumnya dibatasi oleh enam daerah jajargenjang dan sebuah paralel epipedum tegak dibatasi oleh dua buah daerah jajargenjang dan empat buah daerah persegipanjang. Dengan pengertianpengertian diatas kita dapat memberikan definisi untuk balok dan kubus.

Prisma terpancung : Jika sebuah bidang yang tidak sejajar bidang alas suatu prisma memotong semua rusuk prisma itu, maka prisma tersebut terbagi menjadi dua bagian yang masing- masing disebut prisma terpancung.

Prisma terpancung dapat juga didefinisikan sebagai bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidang yang tidak sejajar dan beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis sejajar.

Simetri pada prisma

Pada beberapa jenis prisma kita dapatkan sifat khusus yang disebut simetri. Kita mengenal dua macam simetri yang dapat dimiliki oleh benda ruang, yaitu simetri cermin dan simetri putar.

1. Simetri cermin

Definisi : sebuah bangun dikatakan memiliki simetri cermin jika bangun itu dapat dibagi dua oleh bidang tertentu sehingga bagian yang satu merupakan bayangan cermin dari bagian yang lain terhadap bidang tersebut. Bidang pembagi tadi, yang berperan seolah-olah sebagai sebuah cermin, selanjutnya disebut bidang simetri. Kedua bagian itu dikatakan letaknya simetris terhadap bidang simetrinya.

Untuk menunjukkan adanya simetri cermin pada prisma tertentu, paling baik jika ditinjau sebuah kubus.

Pada sebuah kubus kita temukan dua macam bidang simetri, yaitu

1. Bidang simetri yang melalui pertengahan rusuk-rusuk sejajar, yang disebut juga bidang paralel tengah. (Gambar 7.6.a)

2. Bidang diagonal, yaitu bidang yang melalui dua rusuk yang berhadapan. (Gambar 7.6.b)

3. Simetri Putar

Kita pikirkan bahwa sebuah benda menempati tepat bagian ruang tertentu yang selanjutnya dapat kita sebut sebagai "tempat" benda itu.

Definisi : Jika pada sebuah bangun dapat ditetapkan suatu garis tertentu, sehingga dengan memutar sejauh satu putaran penuh mengelilingi garis tersebut bangun itu dapat menempati kembali tempatnya sebanyak n kali, maka dikatakan bahwa bangun itu mempunyai simetri putar tingkat n. (n -> 2)

Garis itu disebut sumbu simetri putar, atau seringkali cukup hanya disebut sumbu simetri.

Pada sebuah kubus dapat kita temukan beberapa jenis simetri putar, dengan memperhatikan garis-garis tertentu yang dapat merupakan sumbu simetri, yaitu

1. Garis a, yang menghubungkan titik pusat dua bidang sisi yang berhadapan, merupakan sumbu simetri untuk simetri putar tingkat empat; sebab jika kubus diputar sejauh satu putaran penuh mengelilingi garis a itu, akan menempati tempatnya kembali sebanyak 4 kali. (Gambar 7.7.a) Berapa buah sumbu simetri tingkat-4 terdapat pada sebuah kubus?

2. Garis b, yang menghubungkan pertengahan dua rusuk yang berhadapan, temyata merupakan sumbu simetri putar tingkat dua. (Gambar 7.7.b) Berapa buah sumbu simetri tingkat 2 terdapat pada sebuah kubus ?

3. garis c, yang menghubungkan dua buah titik sudut yang berhadapan dapat ditunjukkan merupakan sumbu simetri putar tingkat tiga. Berapa buah sumbu simetri tingkat-3 dapat diketemukan pada sebuah kubus ? (Gambar 7.7.c)

Dapatkah ditemukan sumbu simetri yang lain pada kubus ?

Simetri putar dapat ditunjukkan dengan menggunakan alat peraga berupa model rongga dari benda itu dan sepotong kawat yang dapat ditunukkan pada letak tertentu dari model bangun itu.

Volum Prisma

Pengertian tentang volum sebuah bangun atau benda telah dibicarakan di sekolah menengah.

Volum sebuah prisma dapat ditentukan dengan memperhatikan ketentuan yang diketahui dan dengan menggunakan dalil-dalil tentang volum prisma.

1. Volum prisma sama dengan hasil kali luas bidang alas dan tinggi.

2. Volum sebuah prisma, baik prisma biasa atau prisma terpancung, bersisi tiga sama dengan basil kali luas irisan siku-siku dan sepertiga jumlah pangang rusuk-rusuk tegaknya.

3. Volum sebarang prisma sama dengan hasil kali luas irisan siku-sikunya dan panjang sebuah rusuk tegak.

	Jika ABCD EFGH prisma sembarang, maka V = Luas ABCD ´ , V = L alas ´ t
	Jika ABC DEF prisma bersisi tiga biasa atau terpancung, maka: V = Luas PQR ´ ⅓ (AD + BE + CF) V = L irisan siku-siku ´ ⅓ jumlah panjang rusuk-rusuk tegak.
	Jika PQRS TUVW sebuah prisma sembarang, dengan KLMN sebagai salah satu irisan siku-sikunya, maka V = Luas KLMN ´ PT V = L irisan siku-siku ´ panjang sebuah rusuk tegak.

Latihan 7

1. Gambarlah sebuah prisma segiempat beraturan ABCD EFGH, dengan rusuk alas 4 cm dan rusuk tegaknya 6 cm. Kemudian uraikan sifat-sifat simetri yang dimiliki bangun itu dengan menyebutkan bidang-bidang simetri dan sumbu-sumbu simetrinya.

2. Selidikilah sifat simetri yang dimiliki oleh sebuah balok dengan ukuran 6 cm ´ 5 cm ´ 3 cm.

3. Jelaskan semua sifat simetri yang terdapat pada sebuah prisma segienam beraturan!

4. Hitunglah luas seluruh bidang sisi dari sebuah segienam beraturan yang rusuk alas dan tingginya masing-masing 6 dm.

5. Panjang rusuk alas suatu prisma tegak bersisi tiga adalah 14 cm, 13 cm dan 15 cm, sedang jumlah panjang semua rusuk tegaknya 20 cm. Hitunglah volum prisma itu.

6. Bidang alas sebuah prisma miring adalah sebuah segitiga sama sisi dengan sisi = a cm, panjang sebuah rusuk tegaknya = b cm. Jika rusuk tegak Ietaknya 45⁰ terhadap bidang alas, hitunglah volum prisma itu.

7. Hitunglah volum sebuah paralel epipedum yang panjang setiap rusuknya p cm, sedang rusuk-rusuk utamanya disalah satu titik sudutnya saling membentuk sudut 60⁰.

8. Volum sebuah prisma bersisi-tiga adalah 8,7 liter, sedang panjang semua rusuk tegaknya 8,7 dm. Hitunglah luas irisan siku-sikunya.

9. Tinggi sebuah ruangan yang memiliki bentuk balok adalah 2 meter lebih pendek dari lebarnya dan 4 meter lebih pendek dari panjangnya. Jika jumlah luas langit-langit, lantai dan dinding adalah 856m², tentukan ukuran ruangan itu.

10. Dalam sebuah prisma segitiga terpancung, volumnya sama dengan hasil kali luas irisan siku-siku dan panjang ruas garis yang menghubungkan titik berat-titik berat bidang alas dan bidang atasnya. Buktikan!

BAB 8

LIMAS

Definisi : Limas adalah bidang banyak yang dibatasi oleh sebuah daerah segibanyak dan daerah-daerah segitiga yang alasnya berimpit dengan sisi- sisi segibanyak itu, sedang titik titik puncaknya berimpit disebuah titik yang letaknya diluar daerah segibanyak itu.

Daerah segibanyak itu disebut bidang alas, daerah-daerah segitiga itu disebut sisi-sisi tegak, titik sudut persekutuannya disebut titik puncak, sedang rusuk-rusuk yang melalui puncak disebut rusuk tegak dan jarak dari puncak ke bidang alas disebut tinggi limas.

Limas yang alasnya merupakan daerah segi-n disebut limas bersisi-n atau limas segi-n. Limas dengan puncak T dan alasnya daerah segibanyak ABCD dinyatakan dengan T.ABCD. Limas beraturan adalah limas yang alasnya berupa daeah segibanyak beraturan dan proyeksi puncak pada bidang alas berimpit dengan titik pusat bidang alasnya. Dengan demikian bidang alas limas segitiga beraturan adalah sebuah daerah segitiga samasisi, sedang alas sebuah limas segiempat beraturan merupakan sebuah daerah persegi. Pada limas beraturan garis tinggi dari puncak pada sebuah sisi-tegaknya disebut Apotema. Khusus limas segitiga, seringkali disebut juga bidang-empat karena dibatasi oleh empat buah sisi yang masing-masing berupa segitiga. Bidang empat yang semua rusuknya sama panjang disebut juga bidang empat beraturan.

Jika dalam sebuah bidang empat setiap dua rusuk yang berhadapan saling menyilang tegak lurus maka bidang empat itu disebut bidang empat orthogonal.

Limas terpancung : jika sebuah bidang yang sejajar bidang alas memotong semua rusuk tegak sebuah limas, sehingga limas itu terbagi menjadi dua bagian, maka bagian limas yang terletak antara bidang alas limas dan bidang disebut Limas terpancung

Dengan demikian sebuah limas terpancung pada umumnya dibatasi oleh dua daerah segi banyak yang sejajar dan bentuknya sebangun, serta beberapa daerah trapesium. Bidang sejajar itu disebut bidang atas dan jaraknya ke bidang alas disebut tinggi limas terpancung. Pada gambar bidang PQRS sejajar bidang alas ABCD, maka ABCD PQRS merupakan sebuah limas terpancung dengan ABCD sebagai alas dan PQRS sebagai bidang atas, MN adalah tinggi limas terpancung. Perhatikanlah bahwa untuk melukis sebuah limas terpancung sebaiknya kita lukis limasnya secara keseluruhan terlebih dahulu dengan garis tipis.

Bidang Empat

Beberapa hal penting tentang bidang empat adalah:

		Ruas garis yang menghubungkan sebuah titik sudut dan titik berat sisi didepannya disebut Garis berat bidang empat.
	Ruas garis yang menghubungkan pertengahan dua rusuk yang berhadapan disebut bimedian dari bidang empat.
	Jika dalam sebuah bidang empat setiap dua rusuk yang berhadapan saling menyilang tegak lurus maka bidang empat itu disebut bidang empat orthogonal. Bidang yang melalui sebuah rusuk dan pertengahan rusuk didepannya disebut bidang berat.

Jika AB ^ CD, BC ^ AD dan

AC ^ BD, maka ABCD bidang empat

orthogonal.

Sifat

1. Keempat garis berat dalam sebuah bidang empat berpotongan disebut titik yang membagi garis berat itu atas bagian-bagian yang panjangnya berbanding 1 : 3. Titik potong itu disebut titik berat bidang empat.

2. Ketiga bimedian sebuah bidang empat berpotongan disebuah titik yang saling membagi dua sama panjang.

Simetri pada Limas

Seperti halnya pada prisma, maka pada limas-limas tertentu kita temukan sifat simetri, baik simetri cermin maupun simetri putar. Sifat simetri tersebut dapat diamati dengan menggunakan bentuk alat peraga yang serupa dengan peragaan sifat simetri pada prisma.

Misalnya pada limas segiempat beraturan kita ketemukan

Ø Simetri cermin dengan 4 buah bidang simetri. (tunjukkan mana saja bidang simetrinya).

Ø Simetri putar tingkat-4 dengan sebuah sumbu simetri. (Terangkan manakah sumbu simetrinya).

Luas Permukaan Limas

Dengan memperhatikan fakta-fakta keruangan pada limas, dapat kita tentukan luas permukaan limas yang telah diketahui ukurannya. Di bawah ini sifat-sifat yang dapat dibuktikan kebenarannya:

1. Luas seluruh sisi tegak sebuah limas beraturan sama dengan setengah hasilkali apotema dan keliling bidang alas.

2. Luas seluruh sisi tegak sebuah limas beraturan terpancung sama dengan setengah hasil kali apotema dengan jumlah keliling bidang alas dan bidang atasnya.

Volum Limas

Dengan memandang sebuah kubus terdiri atas tiga buah limas tertentu yang kongruen dapat dibuktikan rumus volum untuk limas.

	Volum limas T.ABCD = ⅓ Luas ABCD ´ TT₁ = ⅓ Luas ABCD ´ Tinggi V _limas = ⅓ Luas ABCD ´ Tinggi
	Bagaimana pembuktiannya ? Dengan rumus volum limas kemudian dapat diturunkan rumus untuk volum limas terpancung.
	Jika dalam sebuah limas terpancung. Luas bidang atas = a satuan luas Luas bidang alas = b satuan luas Dan tinggi = t satuan panjang. Dengan satuan-satuan panjang dan luas yang bersesuaian maka: V _{limas terpancung} =

Latihan 8

1. Dalam sebuah bidang empat.

a. Berapakah banyaknya garis berat ?

b. Berapakah banyaknya bidang berat ?

c. Berapakah banyaknya garis berat yang terdapat dalam sebuah bidang berat?

2. Buktikan bahwa jika dalam bidang empat ABCD, rusuk-rusuk yang bertemu pada titik sudut A saling tegak lurus, maka bidang empat itu orthogonal.

3. Selidikilah sifat simetri yang terdapat pada

a. Limas segilima beraturan

b. Limas segitiga beraturan

c. Bidang empat beraturan

4. Dalam kubus ABCD EFGH

a. Buktikan bahwa BDFG sebuah bidang empat beraturan

b. Buktikan bahwa BEFG sebuah bidangempat orthogonal

c. Hitunglah luas permukaan dan volum dari bidang empat BDEG tersebut, jika rusuk kubus 8 cm.

5. Diketahui limas segi-4 beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 6 cm dan sudut antara sisi tegak dan bidang alas 60⁰. Hitunglah luas seluruh bidang sisi dan volum dari limas tersebut.

6. Hitunglah volum sebuah bidang empat beraturan yang rusuknya 12 cm.

7. Pada sebuah limas segitiga beraturan T.ABC diketahui bahwa TA = 4a cm dan AB = 2a cm. Hitunglah volum limas tersebut.

8. Tinggi sebuah limas terpancung 6 cm; luas bidang alasnya 9 dm². Jika volum dari limas terpancung itu 3 liter, hitunglah luas bidang atasnya.

9. Diketahui sebuah limas beraturan berisi 4 T.ABCD dengan AB = 6 cm dan tinggi 9 cm. Titik P terletak pada rusuk tegak TA sehingga PT = ½ PA. Kemudian melalui P dibuat sebuah bidang sejajar bidang alas ABCD yang memotong rusuk-rusuk TB,TC dan TD berturut-turut dititik Q, R dan S. Tentukan volum benda ABCD PQRS.

10. Gambarlah sebuah limas sembarang; kemudian dibuat bidang yang sejajar bidang alas yang memotong garis tinggi limas itu atas tiga bagian yang sama panjang dan memotong limas itu atas tiga bagian. Tentukan perbandingan antara volum -volum ketiga bagian limas yang terjadi itu.

BAB 9

IRISAN BIDANG DAN BANGUN RUANG

Dalam uraian ini dibicarakan bagaimana menentukan atau melukis irisan antara sebuah bidang datar tertentu dengan sebuah bangun ruang yang diketahui.

Karena bangun-bangun geometri merupakan himpunan titik-titik tertentu, maka irisan sebuah bidang dan sebuah bangun ruang merupakan himpunan semua titik persekutuan antara bidang dan bangun ruang tersebut.

Irisan bidang dengan sebuah bangun ruang pada umumnya berupa sebuah daerah bangun datar. Jika bangun ruang yang dimaksud berupa prisma atau limas, maka irisannya pada umumnya berupa sebuah daerah segibanyak. Dengan demikian dalam melukis irisan bidang dengan prisma atau limas dilakukan dengan melukis ruas garis-ruas garis yang merupakan sisi-sisi dari daerah segi banyak atau irisan yang dimaksud.

Dalam menentukan perpotongan antara bangun-bangun ruang, khususnya dalam menentukan irisan antara sebuah bidang dan sebuah prisma atau limas, kita menggunakan beberapa postulat (aksioma) dan teorema (dalil), terutama aksioma dan dalil-dalil berikut

Aksioma 1 : Melalui dua titik yang berlainan ada tepat satu garis.

Aksioma diatas dapat juga dikatakan dengan

i. Dua buah titik yang berlainan menentukan sebuah garis

ii. Jika dua garis bersekutu dua titiknya, pasti kedua garis itu berimpit.

Aksioma 2 : Melalui tiga buah titik paling sedikit dapat dibuat sebuah bidang.

Aksioma 3 : Jika dua titik dari sebuah garis terletak pada sebuah bidang, pasti seluruh garis itu terletak pada bidang tersebut. (hanya berlaku untuk bidang datar ).

Aksioma 4 : Jika dua bidang bersekutu. sebuah titik, pasti kedua bidang itu bersekutu pada sebuah garis yang melalui titik itu.

Dari aksioma-aksioma diatas dapat ditunuikan dalil-dalil berikut

Dalil 1 : Melalui tiga titik yang tidak segaris ada tepat sebuah bidang.

Dalil 2 : Melalui sebuah garis dan sebuah titik diluamya ada tepat sebuah bidang.

Dalil 3 : Melalui dua garis yang berpotongan ada tepat sebuah bidang

Dalil 4 : Melalui dua garis sejajar ada tepat sebuah bidang

Dalil 5 : Empat buah titik belum tentu terletak pada sebuah bidang.

Dalil 6a : Jika tiga bidang dua-dua berpotongan sehingga menghasilkan tiga garis perpotongan dan jika dua diantara tiga garis itu berpotongan dititik T, maka garis perpotongan yang ketiga juga melalui titik T (Gambar 9.1.a)

Dalil 6b : Jika tiga bidang dua-dua berpotongan sehingga menghasilkan tiga garis perpotongan dan jika dua diantara tiga garis itu sejajar, maka garis perpotongan yang ketiga juga akan sejajar dengan kedua garis perpotongan yang pertama. (gambar 9.1 b ).

Akibat Dalil 6b: Jika melalui dua garis sejajar masing-masing dibuat dua buah bidang yang saling berpotongan, maka garis perpotongannya pasti sejajar dengan kedua garis yang pertama.

Dengan beberapa aksioma dan dalil diatas kita dapat membekali siswa dalam memecahkan persoalan-persoalan lukisan dalam ruang, khususnya lukisan irisan bidang dengan bangun ruang

Dalam melukis irisan (yang pada umumnya berupa daerah segi banyak), kita berusaha melukis sisi-sisi dari segi banyak itu. Sedang sisi-sisi dari segi banyak itu masing -masing ditentukan oleh titik-titik sudutnya. Adapun titik-titik sudut itu pada hakekatnya adalah titik potong bidang itu dengan rusuk-rusuk tertentu dari bangun ruang yang dimaksud.

Hal ini berarti bahwa "melukis titik potong sebuah garis dan sebuah bidang" merupakan langkah yang harus dipahami dan dikuasai dalam melukis irisan sebuah bidang dengan sebuah bangun ruang.

Berikut ditunjukkan pedoman tentang bagaimana langkah menentukan titik potong garis dan bidang, serta langkah menentukan garis potong dua buah bidang.

Menentukan titik potong garis dan bidang.

Untuk menentukan titik potong garis g dan bidang K prosedumya sebagai berikut

i. Melukis sembarang bidang L melalui garis g.

ii. Melukis garis potong antara bidang K dan L, yaitu garis (K, L).

iii. Titik potong garis g dan bidang K adalah titik potong antara garis g dan garis (K, L).

Menentukan garis potong dua bidang

Untuk menentukan garis perpotongan dua bidang dilakukan dengan

Mencari dua titik persekutuannya; kemudian menghubungkannya, – atau

Mencari satu titik persekutuannya dan arah dari garis perpotongan itu.

Disamping dalil-dalil diatas, dalil berikut seringkali dapat membantu dalam menentukan irisan sebuah bidang dan sebuah bangun ruang.

Dalil 7 : Jika sebuah bidang memotong dua buah bidang yang sejajar, maka kedua garis potongnya sejajar. (Gambar 9.3).

Sebelum membicarakan irisan bidang dengan bangun ruang sebaiknya dilatih dan dikembangkan lebih dulu pemahaman dan ketrampilan siswa dalam menentukan titik potong garis dan bidang, menentukan perpotongan dua bidang, menjelaskan kedudukau dua garis dalam ruang yang diketahui gambarnya.

Setiap langkah dalam jawab yang diberikan siswa harus dijelaskan alasannya. Siswa harus dibiasakan bertanya dalam dirinya sendiri “mengapa”, dalam setiap langkahnya, serta harus dapat memastikan jawabnya.

Dengan latihan soal-soal berikut diharapkan dapat mengembangkan daya tanggap ruang serta pemahaman siswa tentang aksioma maupun dalil -dalil tentang keruangan.

Latihan 9.1

1.		Diketahui: Titik A pada bidang H Titik B dan C pada bidang V Lukis : garis potong bidang H dan V dengan bidang yang melaui A, B dan C
2.		Diketahui: Garis a dan b sejajar Lukis: titik potong garis b dengan bidang H
3.		Diketahui Garis-garis a dan b yang masing-masing memotong bidang H dan V seperti pada gambar Selidiki: Dengan menggunakan lukisan, apakah a dan b berpotongan.
4.		Diketahui Titik P pada rusuk AD Titik Q pada perluasan bidang ABC Lukis: Titik potong garis PQ dengan bidang DBC
5.		Diketahui: Limas T.ABCD Lukis: a. Perpotongan bidang TAB dan TCD b. Perpotongan bidang TBC dan TAD c. Perpotongan bidang TAC dan TBD

Setelah diberikan pemahaman melalui soal-soal lukisan seperti diatas, pembicaraan dapat dilanjutkan dengan melukis irisan bidang dengan bangun ruang.

Salah satu cara untuk melukis irisan sebuah bidang dengan sebuah bangun ruang adalah dengan menggunakan garis afmitet atau sumbu afmitet.

Untuk mengenalkan pengertian sumbu afinitet dapat ditinjau sebuah limas segitiga ABCD dengan tiga buah titik P,Q dan R yang masing-masing terletak pada rusuk-rusuk tegak AD,BD dan CD.

i. Bimbinglah siswa untuk berturut-turut:

Melukis secara cermat titik-titik potong dari PQ dan AB, QR dan TC, PR dan TC,

ii. Memeriksa apakah ketiga titik potong itu terletak pada sebuah garis.

iii. Dapat menjelaskan bahwa ketiga titik itu bukan secara kebetulan terletak pada sebuah baris.

Kemudian guru memperkenalkan garis itu sebagai garis afinitet atau sumbu afinitet, yang selanjutnya akan sering digunakan dalam menentukan atau melukis irisan sebuah bidang dengan sebuah bangun ruang.

Setelah pengertian sumbu afinitet dipahami, kemudian diberikan contoh penggunaannya; misalnya dalam melukis irisan sebuah bidang dengan sebuah prisma segi-empat berikut

Diketahui prisma segiempat ARM EFGH; titik P,Q dan R berturut-turut terletak pada rusuk tegak AE,BF dan CG

Lukislah irisan antara bidang yang melalui titik-titik P, Q dan R dengan prisma tersebut; melalui 3 cara

Dengan menggunakan sumbu afinitet

Dengan menggunakan perpotongan kedua bidang diagonal

Dengan menggunakan garis perpotongan dua sisi.

Untuk setiap langkah bimbinglah siswa agar menjelaskan alasannya, yaitu dengan menyebutkan alasannya, yaitu dengan menyebutkan aksioma atau dalil yang memberikan dasar atau pembenaran akan langkah yang ditempuh itu.

Latihan 9.2

1.		Jika P pada bidang sisi ABED dan Q pada bidang sisi BCFE, lukislah titik potong PQ dengan bidang sisi yang lain atau perluasannya.
2.		Diketahui limas segiempat T.ABCD dengan bidang alas ABCD berupa trapesium dengan AD // BC Lukislah garis potong antara bidangbidang sisi TBC dan TAD
3.		Pada limas segiempat P.QRST, titik K terletak pada rusuk PQ, titik L dan M masing-masing terletak pada sisi PRS dan PST. Lukis irisan bidang yang melalui K,L dan M dengan limas. Dapatkah digunakan bidang diagonal untuk melukis irisan tersebut
4.		Dalam prisma ABCD EFGH; titik P,Q dan R berturut-turut terletak pada sisi-sisi ABFE, CDHG dan sisi EFGH. Lukislah irisan prisma itu dengan bidang yang melalui P,Q dan R.

5. Dalam kubus

,titik-titik P,Q dan R berturut-turut adalah pertengahan rusuk-rusuk AB, CG dan GH. Lukislah irisan bidang yang melalui P,Q dan R dengan kubus itu.

BAB

TABUNG

Diantara bangun ruang yang sebagian bidang sisinya berupa bidang lengkung adalah tabung. Dalam mendefinisikan tabung, kita menggunakan pengertian bidang tabung.

Ada beberapa definisi untuk bidang tabung ; a.1:

1. Bidang tabung adalah himpunan semua garis p yang sejajar dengan sebuah garis s dan mempunyai jarak tetap r terhadap s. (Dalam hubungan ini s disebut sumbu bidang tabung, p disebut garis pelukis dan r jari-jari bidang tabung)

2. Bidang tabung adalah himpunan semua titik P yang mempunyai jarak tetap r terhadap sebuah garis s.

Dari definisi tentang bidang tabung maka tabung kemudian didefinisikan sbb Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang tabung dan dua buah bidang datar yang masing-masing tegak lurus pada sumbu bidang tabung. Dalam hubungan ini maka kedua bidang itu masing-masing disebut bidang alas dan bidang atas dari tabung.

Jarak antara bidang atas dan bidang atas tabung disebut tinggi dari tabung itu.

Tabung dapat juga dipikirkan sebagai sebagai sebuah prisma beraturan yang banyaknya sisi digandakan terus menerus sehingga menjadi tak terhingga banyaknya.

Bidang Singgung pada bidang tabung

Pada gambar dibawah ini titik A merupakan pusat lingkaran alas dari tabung. Kita buat garis singgung p pada alas tabung itu dengan D sebagai titik singgung. Dibuat garis pelukis DE, maka bidang yang melalui p dan DE disebut bidang singgung pada bidang tabung.

Jika dalam bidang singgung pada bidang tabung itu.kita lukis garis g yang tidak sejajar dengan garis pelukis, maka garis g itu akan memotong garis pelukis DE disebuah titik P yang merupakan titik persekutuan dari garis g dan bidang tabung. Dalam hal ini maka garis g dikatakan menyinggung bidang tabung dititik P. Garis g juga merupakan garis yang menyilang sumbu tabung pada jarak tetap, yaitu r.

Karena bidang singgung L melalui garis pelukis yang letaknya selalu sejajar dengan sumbu tabung, maka akibatnya bahwa setiap bidang singgung pada bidang tabung letaknya pasti sejajar dengan sumbu tabung.

Dari pembicaraan diatas dapatlah disimpulkan bahwa:

Semua garis yang menyilang sebuah garis s dengan jarak tetap (= r), terletak pada sebuah bidang yang menyinggung bidang tabung dengan s sebagai sumbu dan r sebagai jari-jarinya.

Setiap bidang yang sejajar dengan sebuah garis s mempunyai jarak tetap (r) terhadap s, menyinggung bidang tabung dengan s sebagai sumbu dan r sebagai jari-jarinya.

Volum Tabung

Untuk menentukan volum tabung, maka tabung kita pandang sebagai bangun yang terjadi dari sebuah prisma beraturan yang banyaknya sisi tak berhingga, sehingga keliling dari luas bidang alasnya sangat mendekati keliling dan luas sebuah lingkaran, sedang tinggi prisma itu menjadi tinggi dari tabung tersebut.

Dengan perkataan lain:

Volum sebuah silinder sama dengan limit volum prisma beraturan yang banyaknya sisi bertambah menjadi tak berhingga.

Jika r adalah jari-jari bidang alas tabung dan t adalah tinggi tabung, maka:

Luas bidang lengkung tabung

Jika sebuah model rongga dari sebuah tabung yang terbuat dari kertas atau karton kita potong sepanjang salah satu garis pelukis dan keliling bidang alas dan bidang atasnya; kemudian kita buka sehingga terletak bersama-sama pada sebuah bidang datar maka kita peroleh jaring jaring dari tabung yang terdiri atas sebuah daerah persegipanjang dan dua daerah lingkaran yang kongruen.

Daerah persegipanjang itu panjangnya sama dengan keliling lingkaran alas/atas dari tabung, sedang lebamya sama dengan tinggi tabung.

Dengan demikian jika r jari-jari tabung dan t adalah tinggi tabung maka

Luas bidang lengkung tabung : L = 2p t

Luas seluruh bidang sisi tabung : L = 2p +2p r ²

= 2p r(r + t)

Latihan 10.

1. Diketahui sebuah daerah persegi panjang ABCD dengan AB = 8 cm dan BC = 6 cm. Jika daerah persegi panjang itu berturut turut diputar dengan BC dan AB sebagai sumbu putaran; tentukan perbandingan volum kedua benda putaran yang terjadi.

2. Dari sebuah tabung diketahui bahwa volumnya = a cm³, sedang tinggi dan jari-jarinya berbanding sebagai m : n. Hitunglah luas seluruh bidang sisi tabung itu.

3. Pada gambar dibawah ini diketahui bidang K,L dan M yang saling tegak lurus dan sebuah tabung yang alasnya pada bidang M. titik P terletak pada bidang K, sedang titik Q pada bidang M. Jika garis g diketahui terletak pada bidang L, maka:

a. Selidikilah letak garis a, yang dibuat melalui titik-titik P dan Q terhadap bidang tabung itu. Jika memotong tentukanlah titik potongnya dan jika menyinggung, tentukan titik singgungnya.

b. Tentukan tempat kedudukan garis-garis yang melalui titik Q dan menyinggung bidang tabung.

c. Gambarlah garis X yang melalui Q, yang menyinggung bidang tabung dan memotong garis g.

4. Ditentukan sebuah persegi panjang ABCD. Sebuah garis g letaknya sejajar BC, terletak pada bidang yang melalui ABCD (perluasan daerah persegi panjang ABCD). Garis g itu berjarak d terhadap BC. Kemudian daerah ABCD diputar sekeliling garis g sehingga terjadi benda putaran yang disebut cincin. Buktikan bahwa volum cincin itu sama dengan hasil perbanyakan luas daerah ABCD dan keliling lingkaran yang terjadi oleh perputaran titik potong kedua diagonal persegi panjang ABCD.

5. Diketahui titik P yang tidak terletak di luar sebuah garis b yang ditentukan. Uraikan bagaimana melukis bidang K yang melalui titik P, yang sejajar dengan garis b dan berjarak d terhadap garis b.

6. Ditentukan titik T, garis a dan bidang L. Bagaimana melukis garis g yang melalui T, garis a dan bidang L. Bagaimana melukis garis g yang melalui T, menyilang garis a pada jarak d dan yang harus sejajar bidang L.

7. Bagaimana cara melukis sebuah garis X yang melalui sebuah titik P dan yang menyilang tegak lurus sebuah garis m pada jarak 6 cm?

8. Luas selimut sebuah tabung adalah 60 p cm², sedang volumnya 150 g cm³. Tentukan tinggi tabung dan gambarlah jaring jaring tabung tersebut.

9. Tinggi suatu prisma beraturan bersisi tiga sama dengan 10 cm sedang sisi alasnya 6 cm. Hitung Luas bidang lengkung tabung dan volum "tabung dalam" dan "tabung -luar" dari prisma tersebut.

10. Jari-jari sebuah tabung adalah dua kali jari-jari dari tabung kedua. Jika kedua tabung itu volumnya sama, tentukan perbandingan tinggi kedua tabung itu.

BAB 11

KERUCUT

Seperti halnya pada tabung, maka untuk mendefinisikan kerucut kita menggunakan pengertian bidang kerucut.

Ada beberapa definisi untuk bidang kerucut dan kita dapat memperhatikan salah satu, yaitu:

Bidang kerucut adalah himpunan semua garis yang memotong sebuah garis s disebelah titik P dan yang membentuk sudut a dengan garis s.

Dalam hubungan ini kemudian P disebut puncak, s disebut sumbu dan a sebagai setengah sudut puncak; sedang garis-garis yang membentuk bidang kerucut itu masing-masing disebut garis pelukis dari bidang kerucut. (pada gambar garis-garis g₁, g₂, g₃ dan seterusnya).

Dari defumisi tentang bidang kerucut diatas maka kerucut kemudian didefinisikan sebagai berikut:

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang kerucut dan sebuah bidang yang tegak lurus pada sumbu bidang kerucut.

Bidang tersebut memotong bidang kerucut menurut sebuah lingkaran yang selanjutnya disebut bidang alas kerucut. Jarak dari puncak sampai bidang alas disebut tinggi dari kerucut.

Ruas garis yang menghubungkan titik puncak dan sebuah titik pada lingkaran alas disebut garispelukis dan jika yang diperhatikan panjangnya, maka disebut apotema.

Dalam pada itu kerucut dapat juga didefinisikan secara lain, yang lebih ditinjau dari kejadiannya, yaitu

§ Kerucut adalah bangun yang terjadi dari sebuah daerah segitiga siku-siku yang diputar mengelilingi salah satu sisi siku-sikunya.

§ Kerucut adalah bangun yang terjadi jika sebuah limas beraturan banyaknya sisi diperbanyak sampai tak berhingga.

Bidang Singgung pada Bidang Kerucut

Bidang singgung pada bidang kerucut adalah bidang yang melalui puncak kerucut dan yang dengan bidang kerucut hanya bersekutu tepat sebuah garis pelukis

Pada gambar bidang W adalah bidang singgung pada bidang kerucut; bidang W dan bidang kerucut bersekutu pada sebuah garis pelukis, yaitu garis pelukis p yang melalui titik P dan Q.

Bidang singgung pada kerucut dapat diperoleh dengan membuat bidang melalui garis singgung s pada lingkaran alas dan puncak P. Sebuah garis g yang terletak pada lingkaran alas dan puncak P. Sebuah garis g yang terletak pada bidang singgung W dan yang tidak sejajar dengan garis pelukis p, pada umumnya akan memotong garis pelukis disebuah titik T. Titik ini merupakan satu-satunya titik persekutuan antara garis g dan bidang kerucut. Maka g disebut garis singgung pada bidang kerucut.

Perhatikan bahwa pada kerucut titik-puncak memiliki peranan penting, misalnya apabila kita akan menyelidiki kedudukan sebuah garis apakah memotong, menyinggung atau terletak diluar bidang kerucut maka dibuatlah bidang yang melalui garis itu dan titik puncak kerucut dan seterusnya.

Kerucut Terpancung

Jika sebuah kerucut dipotong oleh sebuah bidang yang sejajar dengan bidang alas, maka bagian kerucut yang terletak antara bidang alas dan bidang itu disebut Kerucut Terpancung.

Bidang yang sejajar itu memotong bidang kerucut menurut sebuah lingkaran, yang selanjutnya disebut bidang atas kerucut terpancung; sedang jarak antara bidang alas dan bidang atas disebut tinggi (t) kerucut terpancung.

Irisan Meridian, adalah irisan antara sebuah kerucut atau kerucut terpancung dengan sebuah bidang frontal yang melalui sumbu. Dalam irisan meridian sekaligus ditunjukkan jari-jari, tinggi, apotema dan besarnya sudut puncak.

Volum kerucut dan kerucut terpancung

Untuk menerangkan volum kerucut, maka kerucut dipikirkan sebagai sebuah limas beraturan yang banyaknya sisi bidang alas banyak sekali tak berhingga, sehingga dalam keadaan limit mencapai bentuk lingkaran. Kita mengetahui bahwa volum limas sama dengan sepertiga hasilkali luas bidang alas dan tinggi; dan karena pada kerucut bidang alasnya berupa lingkaran maka:

V _kerucut = ⅓ Luas alas ´ tinggi

= ½ p r² t

Sedang volum untuk kerucut terpancung dapat diturunkan dari volum limas terpancung.

V limas terpancung = ⅓ t (a + b +

)

Yang jika:

R_l menyatakan panjang jari-jari bidang alas kerucut terpancung

R₂ menyatakan panjang jari-jari bidang atas kerucut terpancung

T menyatakan tinggi

Maka:

Atau : V _{kerucut terpancung} =

Luas selimut-kerucut

Jika sebuah model kerucut dari kertas manila atau karton kita potong sepanjang keliling lingkaran alas dan salah satu garis pelukisnya, kemudian bidang-bidang sisi kerucut itu kita gelar dalam sebuah bidang, maka terjadilah jaring jaring kerucut yang terdiri atas sebuah daerah juring lingkaran dan sebuah daerah lingkaran.

Pada jaring juring kerucut ini kita dapatkan bahwa

a. Panjang busur pada juring sama dengan keliling daerah lingkaran alasnya.

b. Luas daerah juring sama dengan hasil perbanyakan panjang busur pada juring dan setengah apotema (mengapa ?)

Jika A adalah panjang apotema dan r panjang jari-jari bidang alas kerucut, maka

Luas selimut kerucut = ½.2p r.A

= p r.A

Luas seluruh bidang sisi kerucut = p r.A + p r²

= p r(A + r)

Jika β adalah sudut pusat juring pada jaring jarng kerucut itu maka

Jadi β =

´ 360⁰

Dengan menganggap kerucut terpancung sebagai selisih dari dua buah kerucut, maka pada sebuah kerucut terpancung dengan jari-jari bidang alas dan bidang atas berturut-turut rl dan r2 dan yang panjang apotemanya A, maka:

Luas selimut kerucut terpancung = p A(r₁ + r₂)

Luas seluruh bidang sisi kerucut terpancung = p A(r₁ + r₂ ) + p r₁² + p r₂²

Latihan 11

1. Diketahui sebuah segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku 6 cm dan 8 cm. Jika segitiga itu diputar mengelilingi sisi yang panjangnya 6 cm. Hitunglah volum dan luas seluruhnya dari benda putaran yang terjadi.

2. dari Δ ABC diketahui AB = 3 cm, Ð B = 120⁰ dan BC = 4 cm. Segitiga ABC diputar mengelilingi AB. Hitunglah volum dan luas benda putaran yang ten adi.

3. Bagaimana cara melukis sebuah garis yang melalui sebuah titik A, memotong sebuah garis 1 dan membentuk sudut 25⁰ dengan sebuah garis m ?

4. Bagaimana cara melukis sebuah garis X melaui sebuah titik P dan tegak lurus pada garis 1 dan membentuk sudut 40⁰ dengan sebuah garis a ?

5. Sebuah trapesium siku-siku ABCD, AB sejajar CD, dengan AD sebagai kaki siku-sikunya. AD = DC = a cm; AB = 2a cm. Hitunglah volum dan luas benda yang terjadi jika trapesium itu .

a) berputar sekeliling AD

b) berputar sekeliling AB

6. Di dalam irisan meridiannya sebuah kerucut terpancung dapat dilukis sebuah lingkaran yang menyinggung semua sisinya. Hitunglah volum dan luas kerucut terpancung itu jika sisi sejajar irisan meridian itu adalah 2a cm dan 2b cm dengan b < a.

7. Sebuah kerucut dengan jari-jari bidang alas = r cm dan tinggi = t cm, dipotong oleh sebuah bidang yang tegak lurus pada sumbu kerucut sehingga kerucut itu terbagi menjadi dua bagian yang luas selimutnya sama. Hitunglah volum kerucut terpancung yang terjadi.

8. Tentang sebuah kerucut diketahui jari-jari alasnya 4 cm dan apotemanya 6 cm. Lukislah jaring jaring kerucut itu dan hitunglah volum dan luas bidang sisi seluruhnya.

9. Sebuah kerucut jika selimutnya diletakkan pada bidang datar menghasilkan juring lingkaran yang sudut pusatnya 120⁰ dan luasnya 12p cm². Tentukan volum dari kerucut itu.

10. Sebuah kerucut diketahui bahwa jaring-jaringnya terdiri atas daerah setengah lingkaran yang diametemya 12 cm dan sebuah daerah lingkaran.

a) Gambarlah kerucut itu dalam ukuran sebenamya

b) Gambarlah jaring jaringnya

c) Hitunglah volumnya

BAB 12

BOLA

Untuk mendefinisikan bola kita menggunakan pengertian bidang bola. Paling tidak ada dua definisi tentang bidang bola.

Bidang Bola adalah bidang lengkung yang terjadi jika sebuah setengah lingkaran diputar sekeliling salah satu garis tengahnya.

Bangun ruang atau benda yang dibatasi oleh bidang bola disebut Bola.

Bidang bola juga didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang mempunyai jarak tetap terhadap sebuah titik. Titik ini disebut titik pusat. Jarak antara titik pusat dan sebuah titik pada bidang bola disebut jari-jari.

Ruas garis penghubung anatara dua titik pada bidang bola disebut tali busur. Talibusur yang melalui titik pusat disebut garis tengah atau diameter. Dua titik pada sebuah bidang bola yang merupakan ujung-ujung sebuah diameter disebut titik-titik diametral. (Pada gambar misalnya titik titik A dan B)

Sebuah bidang datar yang melaui pusat bola memotong bola menurut sebuah lingkaran yang titik pusatnya berimpit dengan titik pusat bola, sedang jari-jarinya sama dengan jari-jari bola. Lingkaran semacam itu disebut lingkaran besar. Jadi pada sebuah bola terdapat banyak sekali lingkaran besar. Setiap dua lingkaran besar berpotongan sepanjang garis tengah bola.

Letak sebuah bidang terhadap bola

Jika jarak antara titik pusat bola (M,r) terhadap sebuah bidang H kurang dari jari-jari bola, maka dikatakan bidang H memotong bola. Perpotongan sebuah bidang dan sebuah bola pada umumnya berupa sebuah lingkaran kecil.

	Jika jarak (d) antara pusat bola dan bidang H sama dengan jari-jari bola, maka bidang H dan bola (M,r) bersekutu tepat sebuah titik. Dalam keadaan demikian dikatakan bahwa bidang H dan bola (M,r) bersinggungan, misalnya dititik P dan dikatakan juga bahwa bidang H menyinggung bola (M, r) dititik P.
	Sedang jika jarak dari pusat bola ke bidang H lebih besar dari jari-jari bola, maka dikatakan bahwa bidang H tidak memotong bola atau bola dan bidang itu tidak berpotongan.

Letak Garis terhadap Bola

Untuk menentukan atau memeriksa letak sebuah garis g terhadap sebuah bola (M,r), melalui g dan titik pusat bola, dibuat sebuah bidang yang akan memotong bola itu menurut sebuah lingkaran besar.

Karena dengan demikian garis g dan lingkaran besar itu bersama-sama terletak pada sebuah bidang, sehingga dapat diterangkan kemungkinan-kemungkinan sebagai berikut

a) Garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan, yang berati garis g menembus bola di dua buah titik.

b) Garis g menyinggung lingkaran, yang berarti garis g dengan bola mempunyai tepat sebuah titik persekutuan. Dalam kedudukan seperti ini g disebut garis singgung pada bola itu.

c) Garis g tidak memotong lingkaran, yang berarti garis g tidak memotong bola dan dikatakan garis g ada di luar bola.

Letak dua buah bola satu sama lain

Jika diketahui dua buah bola (M,r_l) dan (N,r2) maka garis penghubung antara kedua pusat bola. Disebut garis perpusatan atau central. Selanjutnya jika MN = d dan r₁ < r₂, maka seperti halnya pada geometri bidang, kita dapatkan beberapa kemungkinan tentang letak kedua bola itu

a) d < r₁ +r₂; kedua bola tidak saling memotong; bola yang satu berada diluar bola yang lain.

b) d = r₁ + r₂; kedua bola saling bersinggungan diluar dan mempunyai sebuah titik persekutuan

c) r₂ – r₁ < d < r₂ + r₁; kedua bola saling memotong menurut sebuah lingkaran

d) d = r₂ – r_l; kedua bola saling bersinggungan didalam.

e) d < r₂ – r₁; bola yang satu terletak didalam bola yang lain.

f) d = 0; kedua bola sepusat (concentris).

Luas bola dan bagian-bagiannya

Tembereng bola, adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebagian bidang bola dan sebuah daerah lingkaran. Daerah lingkaran itu disebut alas, bagian bolanya disebut bidang lengkung dan anak panahnya disebut tinggi tembereng.

Keratan Bola, adalah bagian dari bola yang dibatasi oleh dua bidang sejajar. Bidang bidang sejajar tadi disebut bidang alas dan bidang atas; sedang jarak antara kedua bidang itu disebut tinggi dari keratan bola.

Juring Bola, adalah benda yang dibatasi oleh sebuah tembereng bola dan kerucut yang mempunyai bidang alas sama dengan tembereng bola dan yang berpuncak pada pusat bola. Tinggi dari juring bola adalah tinggi dari bagian temberengnya.

Kulit Bola atau Cincin, Bola adalah benda yang dibatasi oleh sebagian bidang bola dan selimut tabung atau selimut kerucut terpancung yang dibuat dalam bola (lingkaran alas dan atas) dari tabung atau kerucut terpancungnya disebut tinggi dari kulit bola tersebut.

Pertanyaan : Apakah tembereng bola, keratan bola, juring bola dan kulit bola dapat dipandang sebagai benda putaran ?

Dalil. Jika sebuah ruas garis AB diputar dengan sumbu putaran garis s yang terletak pada sebuah bidang dengan AB tetapi tidak memotong AB, maka luas bidang lengkung yang terjadi sama dengan hasil kali panjang proyeksi AB pada garis s dengan keliling lingkaran yang jari-jarinya adalah bagian dari sumbu ruas garis AB, diukur dari pertengahan AB sampai perpotongan sumbu itu dengan garis s.

Pada gambar, perputaran ruas garis AB menghasilkan sebuah bidang lengkung kerucut terpancung yang luasnya

L(A,B) = nAB(AA, + BB_I )

Dengan memperhatikan bahwa

Δ BAK ¥ Δ DCG

kemudian dapat dibuktikan bahwa:

L(A, B) = A₁B₁ ´ 2 p CD

L(A, B) dibaca : Luas ruas garis AB berputar.

Perhatikan bahwa dalil diatas juga tetap berlaku jika AB dan s mempunyai titik persekutuan atau jika AB dan s sejajar. Dengan menggunakan dalil di atas kemudian dapat dibuktikan rumus-rumus luas untuk bagian bagian bola.

Jika R jari-jari bola dan t tinggi masing-masing benda yang merupakan bagian bola, maka:

Luas bidang lengkung tembereng bola = 2 p R t

Luas bidang lengkung keratan bola = 2 p R t

Luas bidang lengkung kulit bola = 2 p R t

Luas bidang bola = 4 p R²

Volum bola dan bagian-bagiannya.

Untuk menerangkan volum bola dan bagian-bagiannya, kita memperhatikan dalil berikut

Dalil: Volum benda yang terjadi karena perputaran sebuah segitiga dengan sumbu perputaran sebuah garis yang melalui sebuah titik sudut dan terletak sebidang dengan segitiga itu tetapi tidak memotong segitiga ditempat lain, sama dengan hasil kali luas bidang yang dihasilkan oleh perputaran sisi segitiga yang terletak dihadapan titik sudut yang dilalui oleh sumbu perputaran dengan sepertiga panjang garis tinggi pada sisi itu.

Jadi jika daerah Δ ABC diputar sekeliling garis s yang melalui titik sudut A, sedang s tidak memotong Δ ABC ditempat lain, maka volum benda hasil perputaran daerah Δ ABC sekeliling garis s adalah

L(Δ ABC) = Luas (BC) ´ ⅓ t_a

Dengan menggunakan dalil diatas maka dapat dibuktikan volum dari benda dan benda-benda yang merupakan bagian dari bola. Jika R jari-jari bola dan t tinggi juring bola maka

Volum Juring bola	= ⅔ p R² t
Vo1um bola	= p R³ t

Jika diameter dari bola disebut d, maka dapat dibuktikan bahwa

Volum bola =

p d³

Jika jari-jari bidang bola, r jari-jari alas tembereng dan t tinggi tembereng, maka dapat dibuktikan bahwa

Volum tembereng bola = ½ p r²t+

pt ³

atau

Volum tembereng bola = ⅓ p t ²(3R – t)

Selanjutnya jika rl dan r2 adalah jari-jari bidang alas dan bidang atas buatan boa, sedang t adalah tinggi kuatan bola, maka

Volum kuatan bola = ½ p r₁²t + ½ p r₂²t +

p t²

Pada sebuah kulit bola atau cincin bola, jika k adalah panjang tali busur pada irisan meridiannya dan t tinggi dari kulit bola itu, maka dengan memandang atau memperhitungkan bahwa volum cincin bola adalah selisih dari volum sebuah keratan bola dan sebuah kerucut terpancung maka dapat dibuktikan bahwa kulit bola yang dihasilkan dari perputaran daerah tembereng lingkaran ABC adalah

Volum kulit bola (ABC) =

p k²t

Latihan 12

1. Apakah perbedaan antara bidang lengkung pada bola, tabung dan kerucut ?

2. Diketahui sebuah kubus dengan rusuk a cm. Hitunglah luas bidang bola yang melalui titik- titik sudut kubus itu.

3. Sebuah bola mempunyai volum 1 dm³, hitunglah berapa cm² luas bidang lengkungnya?

4. Ditentukan sebuah bola dan sebuah kerucut yang mempunyai luas sama (luas seluruh bidang kerucut). Jika tinggi kerucut sama dengan garis tengah bola dan sama dengan 2 r, hitunglah perbandingan antara panjang jari-jari bidang alas kerucut dan panjang jari-jari bola.

5. Bagaimana membagi sebuah bola dengan dua bidang sejajar sehingga bidang lengkungnya terbagi menj adi tiga bagian yang sama luasnya.

6. Sebuah bejana berbentuk setengah bola dengan diameter 4 dm. Bejana itu diisi air sampai setengah tingginya. Berapa volum air yang diisikan itu ?

7. Dalam sebuah kerucut terpancung dapat dilukis sebuah bola yang menyinggung semua bidang sisinya. Sudut antara bidang alas dan garis pelukis kerucut terpancung itu adalah 60⁰. Tentukan perbandingan antara volum bola dan volum kerucut terpancung itu.

8. Ditentukan sebuah bola dengan jari-jari R. Di dalam bola itu dibuat sebuah tabung yang irisan meridiannya berbentuk persegi. Hitunglah luas bidang tabung itu dan volum bagian bola yang terletak diluar tabung.

9. Diketahui empat buah bola yang masing - masing berdiameter 28 cm. Keempat bola itu disusun diatas permukaan sebuah bidang datar H sedemikian sehingga setiap bola menyinggung ketiga buah bola yang lain. Hitunglah tinggi susunan bola itu, diperhitungkan dari permukaan bidang H.

10. Diketahui sebuah tabung yang didalamnya dapat dibuat sebuah bola yang menyinggung semua bidang sisi tabung. Kemudian dibuat sebuah kerucut yang puncaknya berimpit dengan titik pusat bidang atas tabung, sedang alasnya berimpit dengan bidang alas tabung.

a) Tentukan perbandingan antara volum tabung, volum bola dan volum kerucut itu.

b) Jika volum bolanya 12 cm³, hitunglah volum kerucutnya

c) Buktikan bahwa luas bidang lengkung tabungnya sama dengan luas bidang lengkung bolanya.

BAB 13

BIDANG BANYAK BERATURAN

Kita telah mengenal benda-benda ruang yang dibatasi oleh bidang bidang datar, misalnya balok dan limas.

Balok dan limas adalah dua diantara bangun-bangun yang disebut bidang banyak.

Definisi: Bidang banyak adalah bangun yang dibatasi oleh bidang-bidang datar yang dua-dua Baling berpotongan.

Bidang-bidang, atau lebih tepatnya bagian-bagian bidang, yang membatasi barigun itu disebut sisi bidang banyak. Ruas garis-ruas garis yang membatasi sisi-sisi disebut rusuk; sedang rusuk-rusuk berpotongan pada titik sudut. Bidang banyak yang paling sederhana dibatasi oleh empat buah daerah segitiga dan disebut bidang empat.

Dapatkah disebutkan perbedaan antara bidangempat dan limas segiempat?

Jika perpanjangan rusuk berada di luar bidang banyak, maka bidang banyak yang demikian disebut bidang banyak konveks. Dapatkah disebutkan ciri khusus lain yang dimiliki oleh bidang banyak konveks?

Bidang banyak konveks yang semua sisinya berupa daerah segi banyak beraturan yang kongruen dan pada setiap titik sudutnya bertemu sisi-sisi yang sama banyaknya disebut bidang banyak-beraturan

Pada setiap bidang banyak konveks berlaku dalil EULER, yang bunyinya demikian

Dalil: Pada setiap bidang banyak konveks banyaknya semua sisi ditambah banyaknya semua titik sudut sama dengan banyaknya semua rusuk ditambah dua.

Jika S menyatakan banyaknya sisi

T menyatakan banyaknya titik sudut

dan R menyatakan banyaknya rusuk

Maka dalil Euler itu dapat dinyatakan dalam bentuk rumus:

S + T = R + 2

Yang selanjutnya dikenal sebagai rumus Euler.

Selanjutnya kita juga mengenal apa yang disebut sudut bidang banyak dengan sifat-sifat tertentu

Definisi: Bagian ruang yang dibatasi oleh tiga buah bidang datar atau lebih, yang kesemuanya melalui sebuah titik, disebut sudut bidang banyak. Khususnya jika dibatasi oleh tiga bidang, maka disebut sudut bidang tiga.

Titik pertemuan dari bidang-bidang itu disebut titik puncak atau titik sudut dari bidang banyak. Garis-garis potong antara tiap dua bidangnya disebut rusuk bidang banyak, sedang daerah sudut yang terbentuk atau dibatasi oleh dua rusuk yang bersekatan disebut sisi bidang banyak. Adapun yang dimaksud dengan sudut-sudut bidang banyak adalah sudut-sudut tumpuan dari sudut-sudut bidang dua yang terjadi oleh bidang-bidang yang membentuk sudut bidang banyak itu.

Pada gambar diatas misalnya, diperlihatkan sudut bidang banyak T. ABCD dan sudut bidang tiga T.ABC.

Pada sudut bidang tiga T.ABC, yang dimaksud dengan

§ Titik puncaknya adalah titik T.

§ Rusuk-rusuknya adalah

dan

§ Sisi-sisinya adalah daerah-daerah Ð ATB, Ð BTC dan Ð ATC.

§ Sudut-sudutnya adalah sudut tumpuan pada rusuk-rusuk

dan

Dalil: Jumlah semua sisi sebuah sudut bidang banyak kurang dari 360⁰.

Dengan pengertian sudut bidang banyak dan dalil yang berlaku pada sudut bidang banyak tersebut kita dapat menyelidiki kemungkinan bidang banyak beraturan yang mana saja yang dapat kita temukan atau dapat kita ciptakan.

Penyelidikan bidang banyak beraturan

Menurut definisi, sebuah bidang banyak beraturan dibatasi oleh daerah-daerah segi banyak beraturan yang kongruen disetiap titik sudutnya bertemu sejumlah daerah segi banyak beraturan yang sama banyaknya.

Dengan demikian akan diselidiki kemungkinan-kemungkinan jika bidang sisinya berupa daerah segitiga samasisi, daerah persegi, daerah segilima beraturan dan seterusnya, dengan juga memperhatikan sifat - sifat atau dalil-dalil tersebut yang terkait.

Jika sisi-sisinya berupa daerah segitiga sama sisi, maka kemungkinankemungkinan yang dapat terjadi

Di tiap titik sudutnya bertemu 3 buah sisi, karena 3 x 60⁰ = 180⁰, jumlahnya kurang dari 360⁰.

Di tiap titik sudutnya bertemu 4 buah sisi, karena 4 x 60⁰ = 240⁰, jumlahnya kurang dari 360⁰.

Di tiap titik sudutnya bertemu 5 buah sisi, karena 5 x 60⁰ = 300⁰, jumlahnya kurang dari 360⁰.

Lebih dari 5 buah daerah segitiga samasisi bertemu ditiap titik sudutnya tidak mungkin. Mengapa ?

Jika sisi-sisinya berupa daerah persegi, maka hanya mungkin terjadi.

Di tiap titik sudutnya bertemu 3 sisi, karena 3 x 90⁰ = 270⁰, jumlahnya kurang dari 360⁰.

Lebih dari 3 daerah persegi bertemu ditiap titik sudutnya tidak mungkin. Mengapa ?

Jika sisi-sisinya berupa daerah segilima beraturan; maka hanya mungkin terjadi, jika:

Di tiap titik sudutnya bertemu 3 sisi, karena 3 x 108⁰ = 324⁰, jumlahnya kurang dari 360⁰.

Lebih dari 3 daerah segilima beraturan bertemu ditiap sudutnya tidak mungkin. Mengapa ?

Bagaimana jika sisi-sisinya semua berupa daerah segienam beraturam?

Setiap sudut segienam beraturan besarnya 120⁰ dan untuk terbentuknya susut bidang banyak paling sedikit hares bertemu tiga buah bidang; berarti pada tiap titik sudut harus bertemu tiga daerah segienam beraturan, sehingga terjadi sudut bidang banyak yang jumlah sisi-sisinya 3 x 120⁰ = 360⁰. Hal itu tidak mungkin karena jumlah semua sisi sebuah sudut bidang banyak hares kurang dari 360⁰.

Hal itu berarti bahwa kita tidak mungkin menciptakan bidang banyak beraturan yang sisi-sisinya berupa daerah segienam beraturan. Dengan dasar alasan yang sama juga kita tidak mungkin menciptakan bidang banyak beraturan yang sisi-sisinya berupa daera segitujuh beraturan dan selanjutnya.

Jadi hanya ada lima jenis bidang banyak beraturan dan untuk dapat lebih menunjukkan perbedaannya, kita akan mencoba menetapkan banyaknya sisi dari masing-masing bidangbanyak beraturan itu.

Banyaknya sisi bidang-bidang banyak beraturan:

a. Jika 3 daerah segitiga samasisi pada tiap titik sudut.

Misal ada x buah sisi, berarti x buah segitiga sama sisi; x buah segitiga samasisi memiliki 3 x buah titik sudut. Karena setiap 3 titik sudut segitiga menghasilkan sebuah titik sudut bidang banyak beraturan; berarti 3 x buah titik sudut segitiga menghasilkan x buah titik sudut bidang banyak beraturan. Selanjutnya x buah segitiga samasisi mempunyai 3 x sisi, tiap 2 sisi segitiga menghasilkan atau membentuk satu rusuk bidang banyak, sehingga 3 x sisi segitiga membentuk

buah rusuk. Karena bidang banyak beraturan merupakan bidang banyak konveks, jadi memenuhi rumus Euler.

	S + T	= R + 2
Û	x + x	= x + 2
Û	x	= 4

Artinya, bahwa bidangbanyak beraturan ini mempunyai 4 buah sisi, yang pada tiap titik sudutnya bertemu 3 buah sisi. Karena mempunyai 4 buah sisi maka benda demikian disebut bidang empat beraturan atau tetra eder atau terahedron

b. Jika 4 daerah segitiga sama sisi pada tiap titik sudut.

Misal bidang banyak beraturan itu mempunyai x buah sisi. x buah segitiga memberikan 3 x titik sudut dan menghasilkan

buah titik sudut bidang banyak. X buah segitiga memberikan 3x buah sisi dan menghasilkan

buah rusuk bidang banyak. Dengan rumus Euler:

	S + T	= R + 2
Û	x +	= x + 2
Û	x	= 8

Berarti bidang banyak ini mempunyai 8 buah sisi dan karenanya disebut bidang delapan beraturan atau octaeder atau octahedron.

c. Jika 5 daerah segitiga samasisi pada tiap titik sudut. Dengan cara yang sama seperti diatas akan diperoleh

Û	x +	= x + 2
Û	x	= 20

Bidang banyak ini disebut bidang duapuluh beraturan atau icosaeder atau icosahedron.

d. Jika 3 daerah persegi pada tiap titik sudut. Dengan cara yang sama akan diperoleh

Û	x +	= x + 2
Û	x	= 6

Bidang banyak ini disebut bidang enam beraturan atau hexaeder atau hexahedron. Dan lebih kita kenal sebagai kubus.

e. Jika 3 daerah segilima beraturan pada tiap titik sudut. Dengan cara yang sama akan diperoleh

Û	x +	= x + 2
Û	x	= 20

Bidang banyak beraturan ini disebut bidang dua belas beraturan atau dodecaeder atau dodecahedron.

Pada gambar 13.3 adalah gambar dari bidang banyak beraturan yang dapat diciptakan. Bidang banyak beraturan dikatakan sebagai analogon dalam ruang dari segibanyak beraturan pada geometri bidang.

Jika pada segibanyak beraturan kita temukan adanya lingkaran luar dan lingkaran dalam, maka pada bidang banyak beraturan kita kenal adanya bola-bola tertentu yang terkait.

Dalil: Pada setiap bidangbanyak beraturan dapat dilukis tiga buah bola yang concentris (berpusat sama), yaitu

1. Bola yang melalui semua titik sudut

2. Bola yang menyinggung semua sisi

3. Bola yang menyinggung semua rusuk

Untuk lebih mengenal dan memahami bentuk dan struktur bidang banyak beraturan yang ada, dapat ditempuh dengan membuat model - modelnya dalam bentuk model-berongga dari bidang banyak beraturan.

Model ini dapat dibuat dari bahan yang mudah dan murah, yaitu dari kertas manila atau kertas-karton.

Model berongga bidang banyak beraturan dapat dibuat dengan terlebih dahulu membuat model jaring-jaringnya seperti dibawah ini

1. Jaring-jaring Bidang Empat Beraturan (Tetrahedron)

Gambar 13.4

2. Jaring-jaring Bidang Enam Beraturan (Kubus)

Gambar 13.5

3. Jaring-jaring Bidang Delapan Beraturan (Octahedron)

4. Jaring faring Bidang Duabelas Beraturan (Dodecahedron)

6. Jaring-jaring Bidang Duapuluh Beraturan (Icosahedron)

Latihan 13

Bagaimana definisi dari bidang banyak beraturan ?

Sebuah benda dibatasi oleh 6 buah daerah belah ketupat yang kongruen. Apakah benda ini merupakan bidang banyak beraturan ?

Berapakah banyaknya titik sudut dari bidang enam beraturan ? Berapakah banyaknya rusuk pada sebuah bidang duapuluh beraturan ?

Diketahui sebuah bidang delapan beraturan dengan rusuk 5 cm.

a. Hitunglah volumnya

b. Hitungkah luas bidang lengkung bola yang melalui semua titik sudutnya.

Lukislah sebuah bidang delapan beraturan yang titik- titik sudutnya semua terletak pada sebuah kubus.

Sebuah bidangempat beraturan rusuknya 6 cm Lukis dan hitunglah

a. Jari-jari bola dalamnya

b. Jari-jari bola yang menyinggung rusuk-rusuknya.

Buatlah model rongga sebuah bidang empat beraturan dengan rusuk 12 cm.

Buatlah model rongga sebuah bidang enam beraturan dengan rusuk 10 cm.

Buatlah model rongga sebuah bidang delapan beraturan dengan rusukl0 cm. Dengan model yang diperoleh periksalah apakah bidang delapan beraturan memiliki pasangan-pasangan sisi yang letaknya sejajar.

Dengan rusuk 6 cm buatlah model bidang duabelas beraturan. Selidikilah selanjutnya adakah bidang-bidang sisi yang letaknya sejajar ?

Pelajarilah struktur bidang dua puluh beraturan dengan terlebih dahulu membuat model -berongga dari benda itu dengan rusuk 8 cm.

DAFTAR PUSTAKA

Alders C.J. 1954. Ilmu Ukur Ruang Jakarta : Noordhoff - Kolff N.V.

A. Van Thijn 1954.Soal - soal Ilmu Ukur Ruang Jakarta : J.B Wolters.

Depdikbud 1994. Matematika untuk SMU Jakarta : Balai Pustaka.

1981 Petunjuk Pembuatan Alat Peraga/Praktek Matematika Jakarta : Direktorat Sarana Pendidikan.

Djoko Iswadji 1988.Geometri Ruang Yogyakarta : FMIPA IKIP Yogyakarta.

Sumarno 1950.I1mu Ukur Ruang Jakarta : Prapanca. Jakarta : Direktorat Sarana Pendidikan.

Tim Instruktur PKG Matematika SMU 1987. Dimensi Tiga Yogyakarta PPPG Matematika.

Travers, K. J . 1987. Laidlaw Geometry Illinois : Laidlaw Brothers Publisher.

Wirasto. 1967.Penuntun Ilmu Ukur Ruang Yogyakarta : IKIP Yogyakarta.

g ^ bidang H......................

g ^ a.......... (i)

Jadi g ^ a dan g ^ b

a dan b₂ pada bidang H......

g ^ b........................................ (ii)